欧几里得 1.7 解法与证明

欧几里得 1.7 内接正方形

6L显然，本文略。7E做法如下：

详细步骤：

• 给定圆\(A\)。
• 取\(A\)上的任意点\(B\)，做过\(A\)的圆\(B\)。两圆交于\(C, D\)。
• 以\(C\)为圆心过点\(D\)做圆\(C\)，交圆\(A\)于\(F\)。
• 延长\(AC\)交圆\(C\)于\(E, H\)。
• 连接\(EF\)交圆\(A\)于\(G\)，连接\(HF\)交圆\(A\)于\(I\)。
• 四边形\(BGFI\)即为所求。

证明：

• 做圆\(C\)的直径\(DK\)，\(\angle DCA = \frac{1}{2} \angle DBA = 30^{\circ} \) 。
• \(\angle EJK=\frac{1}{2} \angle ECK = \frac{1}{2} \angle DCA = 15^{\circ}\)。又因为\(\angle JEF = \angle JKF = 60^{\circ} \)，所以\( \angle JFE = 45^{\circ}\)。
• 因为\(BF\)为圆\(A\)的直径， 所以\(\angle BGF = 90^{\circ}\)。所以\(\triangle BGF\)是等腰直角三角形。
• 又因为\( EH\)是直径，所以\(\angle EFH = 90^{\circ}\)。同理\(\triangle BIF\)是等腰直角三角形。
• 所以四边形\(BGFI\)是正方形。证毕。